QUESTION 3: Mean Value Theorem for Differentiation
The Mean Value Theorem for differentiation states that if f(x) is continuous on a closed interval [a,b] and differentiable on open interval [a,b], then there is at least one point c in (a,b) where fʻ(c) = f(b) − f(a)/b-a
Find the value of c if f(x)=3+ √x − 2 in the interval (2,6).
Answer (4)
"Who's" should be "whose".
The sentence is grammatically correct and communicates its meaning clearly. It maintains subject-verb agreement and uses the pronoun 'whose' appropriately. There are no errors present in the sentence.
;
Jawaban:Berikut jawaban untuk soal Mean Value Theorem (Teorema Nilai Tengah):Diketahui: • Fungsi: f(x) = 3 + √(x − 2)• Interval: (2, 6)Langkah 1: Cek syarat • Fungsi √(x−2) kontinu dan diferensiabel di (2,6), karena domain √(x−2) adalah x ≥ 2• Jadi, fungsi memenuhi syarat Mean Value TheoremLangkah 2: Gunakan rumus Mean Value Theorem f′(c) = [f(6) − f(2)] / (6 − 2)• f(6) = 3 + √(6 − 2) = 3 + √4 = 3 + 2 = 5• f(2) = 3 + √(2 − 2) = 3 + √0 = 3• Maka: f′(c) = (5 − 3) / (6 − 2) = 2 / 4 = 0,5Langkah 3: Turunkan f(x) f(x) = 3 + √(x − 2)f′(x) = 1 / [2√(x − 2)]Setarakan dengan hasil f′(c) = 0,51 / [2√(c − 2)] = 0,5• Kalikan silang: 1 = 2√(c − 2) × 0,51 = √(c − 2)• Kuadratkan kedua sisi: 1 = c − 2c = 3Jawaban: • Nilai c = 3Silakan like dan follow jika merasa terbantu!
Teorema nilai rata-rata (mean value theorem) dapat dipahami secara geometris sebagai berikut (perhatikan gambar pertama pada lampiran).Misalkan f(x) merupakan fungsi yang kontinu dan dapat diturunkan di sepanjang interval (a, b), maka ada setidaknya satu nilai c diantara interval (a, b) sehingga garis singgung (tangent line) di f(c) memiliki kemiringan/gradien yang sama dengan gradien garis potong antara f(a) dan f(b).Terlihat pada contoh di gambar, pada kurva fungsi di sepanjang interval (a, b), terdapat dua titik f(c₁) dan f(c₂) yang garis singgung di titik tersebut memiliki kemiringan/gradien sama dengan garis potong antara f(a) dan f(b).Karena gradien fungsi f di titik f(c) sama dengan f' (c), dan gradien garis potong antara f(a) dan f(b) merupakan gradien garis lurus yang nilainya sama dengan: ( f(b)-f(a) )/( b-a ), maka teorema nilai rata-rata dapat kita nyatakan sebagai:Untuk fungsi f yang kontinu sepanjang interval [a, b] dan dapat diturunkan di sepanjang interval (a, b), maka terdapat setidaknya satu nilai c di mana a < c < b sehingga[tex]\displaystyle f^\prime (c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/tex]Sekarang, kita kembali ke soal.Masalahnya sekarang adalah penulisan soal oleh anda di sini agak ambigu. Apakah fungsi yang dimaksud adalah f(x) = 3 + √(x - 2) ataukah f(x) = 3 + √(x) - 2?Maka, di sini kita coba selesaikan untuk kedua fungsi tersebut. Jelas bahwa kedua fungsi tersebut kontinu pada (2, 6) dan dapat diturunkan pada [2, 6].Jika yang dimaksud adalah f(x) = 3 + √(x - 2):Dari mean value theorem, kita peroleh:[tex]\begin{aligned}f'(c) &= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\\frac{d}{dx}f(x)_{x=c} &= \frac{f(6)-f(2)}{6-2}\\\frac{d}{dx}\left(3+\sqrt{x-2}\right)_{x=c} &= \frac{\left(3+\sqrt{6-2}\right)-\left(3+\sqrt{2-2}\right)}{4}\\0 + \frac{d}{dx}\left(x-2\right)^{1/2}_{x=c} &= \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\left(c-2\right)^{-\frac{1}{2}} &= \frac{1}{2}\\\frac{1}{\sqrt{c-2}} &= 1\\\sqrt{c-2} &= 1\\c &= 3\end{aligned}[/tex]Jika yang dimaksud adalah f(x) = 3 + √(x) - 2:Dari mean value theorem, kita peroleh:[tex]\begin{aligned} f'(c) &= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\ \frac{d}{dx}\left(3+\sqrt{x}-2\right)_{x=c} &= \frac{\left(3+\sqrt{6}-2\right)-\left(3+\sqrt{2}-2\right)}{4}\\ 0 + \frac{d}{dx}\left(x\right)^{1/2}_{x=c} + 0 &= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \frac{1}{2\sqrt{c}} &= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \frac{1}{c} &= \left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^2\\ &= \frac{6-2\sqrt{12}+2}{2}\\ \frac{1}{c} &= 2-\sqrt{3}\\ c &= \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3}\end{aligned}[/tex]Bukti geometris untuk kedua fungsi dilampirkan pada gambar kedua dan ketiga. Perhatikan bahwa garis singgung (tangent line) pada f(c) memiliki kemiringan sama dengan garis potong (secant line) yang melewati f(a) dan f(b), dengan a < c < b.Maaf kalau salah, semoga cukup membantu.
