SOAL PERSAMAAN POLINOMIAL DAN AKAR-AKAR VIETA 1. p. q, dan r adalah akar-akar dari suku banyak 2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 4x + 2 = 0 maka nilai dari p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3 adalah.....A.-6B 27C.2. E6 Diketahui persamaan x ^ 2 - px + 10 = 0 akar-akarnya z₁ dan 22. Jika nilai x_{1} + x_{2} = 7 maka nilai 2 adalah...A-14B. 7C7D. 10E 143. Jika persamaan maka nilai 2a adalah memiliki dua akar yang saling berkebalikan, 2x ^ 3 + a * x ^ 2 - 18x + 8 = 0B.-4C. 2D.4E64. Jika akar-akar persamaan z 8zpr r + 0 membentuk deret aritmetika dengan beda 2, maka p+q+r adalah.....A-12B.-10C-9D85. E6 Kedua akar suku banyak P(x) = x ^ 2 - 63x merupakan bilangan prima. Banyak bilangan e yang mungkin adalah.....A. 0B. 1C.2D.3E. Lebih dari 3
Answer (1)
Jawaban:1. p, q, dan r adalah akar-akar dari suku banyak 2x³ + 3x² + 4x + 2 = 0 maka nilai dari p³ + q³ + r³ adalah ...- Diketahui polinomial 2x³ + 3x² + 4x + 2 = 0 dengan akar-akar p, q, dan r.- p + q + r = -3/2- pq + pr + qr = 4/2 = 2- pqr = -2/2 = -1- Rumus yang Berguna: p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p + q + r)(p² + q² + r² - pq - pr - qr)- p² + q² + r² = (p + q + r)² - 2(pq + pr + qr) = (-3/2)² - 2(2) = 9/4 - 4 = -7/4- Substitusi ke Rumus Awal: p³ + q³ + r³ - 3(-1) = (-3/2)(-7/4 - 2)- p³ + q³ + r³ + 3 = (-3/2)(-15/4) = 45/8- p³ + q³ + r³ = 45/8 - 3 = 45/8 - 24/8 = 21/8Jawaban: D. 21/8 2. Diketahui persamaan x² - px + 10 = 0 akar-akarnya x₁ dan x₂. Jika nilai x₁ + x₂ = 7 maka nilai 2p adalah ...- Dalam persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, jumlah akar-akarnya (x₁ + x₂) adalah -b/a.- Dalam kasus ini, x₁ + x₂ = -(-p)/1 = p.- Karena x₁ + x₂ = 7, maka p = 7.- Maka, 2p = 2 * 7 = 14.Jawaban: E. 14 3. Jika persamaan 2x³ + ax² - 18x + 8 = 0 memiliki dua akar yang saling berkebalikan, maka nilai 2a adalah ....- Misalkan dua akar yang saling berkebalikan itu adalah m dan 1/m, dan akar ketiga adalah n.- Hasil kali akar-akarnya adalah m * (1/m) * n = -8/2 = -4, sehingga n = -4.- Jumlah hasil kali dua akar adalah m * (1/m) + m * n + 1/m * n = -18/2- 1 + n(m + 1/m) = -9- 1 + (-4)(m + 1/m) = -10- m + 1/m = 5/2- Jumlah akar-akarnya adalah m + 1/m + n = -a/2- 5/2 - 4 = -a/2- -3/2 = -a/2- a = 3- Maka, 2a = 2 * 3 = 6Jawaban: E. 64. Jika akar-akar persamaan x⁴ - 8x³ + px² - qx + r = 0 membentuk deret aritmetika dengan beda 2, maka p + q + r adalah ...- Misalkan akar-akarnya adalah a - 3d, a - d, a + d, dan a + 3d. Karena bedanya 2, maka akar-akarnya adalah a-6, a-2, a+2, a+6 (diasumsikan d=2)- Jumlah akar-akar = (a - 6) + (a - 2) + (a + 2) + (a + 6) = -(-8)/1- 4a = 8- a = 2- Maka akar-akarnya adalah -4, 0, 4, 8- p = Jumlah hasil kali dua akar: p = (-4)(0) + (-4)(4) + (-4)(8) + (0)(4) + (0)(8) + (4)(8) = 0 - 16 - 32 + 0 + 0 + 32 = -16- q = - (Jumlah hasil kali tiga akar): q = -[(-4)(0)(4) + (-4)(0)(8) + (-4)(4)(8) + (0)(4)(8)] = -[0 + 0 - 128 + 0] = 128- r = Hasil kali semua akar: r = (-4)(0)(4)(8) = 0- p + q + r = -16 + 128 + 0 = 112Jawaban:Tidak ada jawaban yang sesuai5. Kedua akar suku banyak P(x) = x² - 63x + c merupakan bilangan prima. Banyak bilangan c yang mungkin adalah ....- Misalkan kedua akar tersebut adalah p dan q, dengan p dan q adalah bilangan prima.- p + q = 63- p * q = c- Karena p + q = 63 (ganjil), salah satu dari p atau q harus genap, dan satu-satunya bilangan prima genap adalah 2.- Misalkan p = 2, maka q = 63 - 2 = 61 (yang juga merupakan bilangan prima).- Dengan demikian, c = p * q = 2 * 61 = 122.- Hanya ada satu kemungkinan: 2 dan 61.Jawaban: B. 1
