11. Diberikan suatu fungsi f(x) yang memenuhi f(x)+ f(x − 1) = x², dan f(11) = 50 a. 280 tentukan nilai dari f(41) = b. 824 =... c. 782 d. 818 e. 845
Answer (1)
Jawaban:cari nilai f(41) berdasarkan informasi yang diberikan. Diketahui: - f(x) + f(x - 1) = x²- f(11) = 50 Ditanya: - f(41) Cara Penyelesaian: Kita akan menggunakan persamaan rekursif untuk mencari hubungan antara f(x) dan f(x-1). 1. Tulis persamaan untuk x = 12:- f(12) + f(11) = 12²- f(12) + 50 = 144- f(12) = 144 - 50- f(12) = 942. Tulis persamaan untuk x = 13:- f(13) + f(12) = 13²- f(13) + 94 = 169- f(13) = 169 - 94- f(13) = 75 Kita bisa melihat pola di sini. Untuk mencari f(41), kita bisa teruskan proses ini, tetapi itu akan sangat panjang. Mari kita coba mencari pola yang lebih umum. 3. Tulis persamaan untuk x = n+1:- f(n+1) + f(n) = (n+1)²4. Tulis persamaan untuk x = n:- f(n) + f(n-1) = n²5. Kurangkan persamaan (4) dari persamaan (3):- f(n+1) - f(n-1) = (n+1)² - n²- f(n+1) - f(n-1) = n² + 2n + 1 - n²- f(n+1) - f(n-1) = 2n + 1 Persamaan ini memberi kita hubungan antara f(n+1) dan f(n-1). Sekarang kita bisa menggunakannya untuk melompat dua langkah sekaligus. Kita ingin mencari f(41) dan kita tahu f(11). Jadi, kita ingin mencari nilai n sehingga n+1 = 41 dan n-1 = 11. Ini tidak mungkin, tetapi kita bisa mendekatinya. 6. Gunakan persamaan rekursif untuk melompat dari f(11) ke f(13), f(15), dst.:- f(n+2) = f(n) + 2(n+1) + 1- f(n+2) = f(n) + 2n + 3 Kita ingin mencari f(41), jadi kita mulai dari f(11) dan terus menambahkan 2 ke n sampai kita mencapai 41: - f(11) = 50- f(13) = f(11) + 2(11) + 3 = 50 + 22 + 3 = 75- f(15) = f(13) + 2(13) + 3 = 75 + 26 + 3 = 104- ... Kita bisa melihat bahwa kita menambahkan 2n+3 setiap kali. Jadi, kita bisa menulis: - f(41) = f(11) + Σ [2(11 + 2k) + 3] , untuk k = 0 sampai 14.- f(41) = 50 + Σ [22 + 4k + 3] , untuk k = 0 sampai 14.- f(41) = 50 + Σ [25 + 4k] , untuk k = 0 sampai 14. Jumlah dari deret aritmetika adalah: - Σ [a + (n-1)d] = n/2 * [2a + (n-1)d] Dalam kasus ini: - a = 25- d = 4- n = 15 Jadi: - Σ [25 + 4k] = 15/2 * [2*25 + (15-1)*4]- = 15/2 * [50 + 56]- = 15/2 * 106- = 15 * 53- = 795 Akhirnya: - f(41) = 50 + 795 = 845 Jadi, nilai dari f(41) adalah 845.jawaban yang benar=e.845
